Задание 1: Орнамент.
Этот орнамент мне посчастливилось увидеть в одном из многочисленных московских компьютерных клубов в заставке любительской программы (далее текст от лица Рыбинского). Ответить на вопрос, что же означает данный орнамент, автор программы не смог, но сказал, что, по словам его друга, он все же несет какой-то математический смысл.
Для отыскания этого смысла разобьем орнамент на 4 одинаковых сектора (на рис. закрашено). Теперь найдем площадь всего квадрата и одного сектора на ? шаге:
S(квадрата)=[N*(N+1)](во 2-ой степени)
S(сектора)=1*1(во 2-ой степени)+2*2(во 2-ой степени)+...+N*N(во 2-ой степени)=1(в 3-ей степени)+2(в 3-ей степени)+3(в 3-ей степени)+...+N(в 3-ей степени)=Сумма N(в 3-ей степени)
Учитывая, что S(кв) = 4*S(сек), получаем:

Иначе говоря, данный орнамент иллюстрирует формулу суммы кубов натуральных чисел. Оценивалось всего в 3 балла, т.к. требует не длительных усилий, а догадки.
Наилучший результат см. на рисунке.


Задание 2: Садовник.
Эта головоломка уже многие годы кочует по различным книгам, причем кое-где в ответе приводится сразу 2-3 результата. Мне же хотелось получить ее исчерпывающее исследование. И эти ожидания оправдались: такой материал прислали И.Прелуцкий, Г.Ярковой и Ю.Зелинский. Однако решений оказалось так много, что спасла положение только идея Ю.Зелинского выделить для 6 рядов по 4 куста только 8 решений, имеющих не менее 2 осей симметрии (см. рис.). Некоторое представление о числе решений для первой клумбы дают рисунки 14 симметричных решений для 7 рядов (при этом одиночный черный куст может занимать любое положение вдоль соответствующего ряда), которые помещены далее.




14 симметричных существенно различных клумб, которые можно составить из 12 кустов в 7 рядов по 4 куста в каждом.

Задание 3: Новая выкройка.
Почти все решатели правильно указали, как из приведенной в задании выкройки можно склеить две различные конструкции:



Кроме того, И.Драгунова, Ю.Зелинский и В.Дорофеев указали выкройку из 6 граней, позволяющую склеить две пирамиды, расположенные взаимно либо вовне, либо одна внутри другой (рис. внизу):



А Г.Ярковой и В.Дорофеев нашли оригинальную 6-гранную выкройку, позволяющую склеить два совершенно различных тела (рис. внизу):



Д.Пасхина и В.Дорофеев заметили, что свойством дуальности обладают и многие другие выкройки из 8 равносторонних треугольников. Таких выкроек мне удалось найти еще шесть:



Совершенно неожиданного результата добился Ю.Зелинский. Ему удалось сконструировать выкройку из 10 равносторонних треугольников, позволяющую собрать четыре (!) различных объемных тела (рис. внизу):



Рекордная выкройка из 10 треугольников, позволяющая склеить 4 существенно различных (при выворачивании выкройки наизнанку можно получить зеркальное отражение третьей сверху фигуры) тела.

Задание 4: Игра 2001.
Непрерывный ряд из 11 белых фишек удалось построить Ю.Зелинскому, С.Еременко, Г.Ярковому и В.Дорофееву. Вот решение последнего:
1. Выберем 128 непересекающихся интервалов по 13 клеток в каждом.
2. Выставляем в клетки N3 каждого из них по одной белой фишке. После хода черных образуется 64 интервала с одной белой фишкой.
3. Выставляем по одной белой фишке в клетки N4. Образуется 32 интервала с двумя белыми фишками.
4-7...
8. Образовался один интервал с семью белыми фишками N3-9. Выставляем фишки N10,11, и затем, в зависимости от хода черных N1,2 или N12,13.
Непрерывный ряд из 11 следующих подряд белых фишек построен. Причем, для того, чтобы по этой стратегии выложить ряд из n фишек потребуется поле длиной К=(n+2)*2n-4 клеток.
На самом деле эта формула Дорофеева является лишь приближением "сверху", и мне кажется, что для n>4 всегда возможны более гибкие стратегии белых, позволяющие при увеличении n все более значительно сокращать длину требуемого поля К. Например, для n=5 достаточно поля 13 вместо 14:
1. ---Б--Ч--Б--- 2. --ББ--Ч--ББЧ- 3. -ББББ-Ч--ББЧ-
Для n=6 достаточно поля 27 вместо 32:
1-2. ----Б---Ч-Б-----БЧ----Б----
3. --ББ---Ч-Б-----БЧ----ББЧ--
4. --ББББ--Ч-Б-----БЧ----ББЧ--
или:
1-2. ----БЧ----Б-----Б----ЧБ----
3. ----БЧ----ББ-Ч--ББ---ЧБ----
4. ---БЧ---БББ-Ч--БББЧ-ЧБ----
5. ----БЧ-БББББ-Ч--БББЧ-ЧБ----

Вернуться к Чемпионату, на Главную страницу Мастерской кроссвордов